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微分方程的物理運(yùn)用ppt課件

微分方程簡介

微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是找出未知函數(shù)。

微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關(guān)的問題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題。物理中許多涉及變力的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)問題，如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運(yùn)動等問題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計等領(lǐng)域都有應(yīng)用。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€不同的面向，但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解。只有少數(shù)簡單的微分方程可以求得解析解。不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認(rèn)其解的部分性質(zhì)。在無法求得解析解時，可以利用數(shù)值分析的方式，利用電腦來找到其數(shù)值解。動力系統(tǒng)理論強(qiáng)調(diào)對于微分方程系統(tǒng)的量化分析，而許多數(shù)值方法可以計算微分方程的數(shù)值解，且有一定的準(zhǔn)確度。

微分方程的特點(diǎn)

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡述一下，以了解常微分方程的特點(diǎn)。

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。

后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實(shí)際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到定解問題上來。

一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因?yàn)槿绻麤]有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當(dāng)然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應(yīng)該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗(yàn)測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。

通常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。